Основные понятия теории множеств

Понятия «множество», «элемент множества» являются одними из ос-новных, исходных понятий математики. Принято считать, что эти поня-тия, как и любые другие исходные понятия некоторой математической теории не определяются [24]. Действительно, всякое определение содержит другие понятия, логически предшествующие определяемому, поэтому, по крайней мере, первое определение теории должно содержать не определяемые понятия. В качестве исходных обычно выбираются понятия, в понимании которых не возникает существенных разногласий (возможные разногласия не нарушают правильности ни одного положения теории). Вообще в дискретной математике имеются специальные принципы построения математических теорий.
Под множеством понимают любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. В этом нестрогом, интуитивном определении, принадлежащем одному из родоначальников современной теории множеств – немецкому математику Г. Кантору (1845-1918 гг.) существенным является то обстоятельство, что собрание различных объектов рассматривается как один объект [24]. Нам будет вполне достаточно интуитивного понимания понятий «множество», «быть элементом множества». Объекты, образующие множество, называют элементами множества и обозначают, как правило, строчными, а множества – прописными буквами латинского алфавита.
Для обозначения принадлежности элемента m множеству М будем использовать запись mМ, где знак  является стилизацией первой буквы греческого слова i (есть, быть) [9-10].
Множество, содержащее конечное число элементов, называют конеч-ным. В теории множеств используется и такое необычное множество, как пустое множество, не содержащее ни одного элемента и обозначаемое символом . Число элементов конечного множества М называют мощностью и обозначают |М|. Мощность бесконечного множества – более сложное понятие.
Каждое множество полностью задается своими элементами. Для этого можно перечислить элементы конечного множества или указать свойства элементов. Обычно для задания множеств используются фигурные скобки {}. Например:
А={a,b,c,d}
B={i:i – четное число}.
А – конечное множество, состоящее из четырех элементов a,b,c,d. В – бесконечное множество, заданное свойством элементов i, которое записывается справа от двоеточия. По существу это свойство задается так называемым одноместным предикатом Р(i) («быть четным числом»), о которых речь пойдет в дальнейшем. Множество может быть задано также некоторой порождающей процедурой. Весьма распространенной порождающей процедурой является образование множеств из других множеств с помощью операций над множествами.
В множестве могут быть выделены подмножества. Если каждый эле-мент множества С принадлежит множеству D, то множество С называется подмножеством множества D. Это обозначается как СD (DС), где  – знак включения (вспомним знак принадлежности ). Говорят, что множества С и D находятся в отношении включения, а элементы множества к самому множеству – в отношении принадлеж-ности.
Если АВ и АВ, то А называют собственным, строгим или истинным подмножеством и обозначают АВ, где  – знак строгого включения.
Для каждого множества М существует множество, элементами которого являются все его подмножества. Такое множество называется булеаном множества и обозначается В(М), а множество М – универсумом (универсальным) и обозначается I [9-10].
Пусть I={a,b}, тогда B(I)={,{a},{b},{а,b}}. Для I={a,b,с}, B(I)={,{a},{b},{c},{а,b},{a,c},{b,c},{a,b,с}}.
Множества часто задают графически с помощью диаграмм Эйлера (рис. 1).

Рис. 1. Пример диаграммы Эйлера для множеств
{{а,b,с},{b,d,e}} в универсуме {а,b,с,d,e}

На рис. 1 заданы множества {{а,b,с},{b,d,e}} в универсуме I={а,b,с,d,e}, замкнутая линия, называемая кругом Эйлера, соответствует одному из рассматриваемых множеств и ограничивает его элементы, при этом рамка, в верхнем правом углу которой обозначено I, ограничивает элементы универсума (универсального множества).
Основные операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество АВ, все эле-менты которого являются элементами множества А или множества В:
АВ={xA или хВ},
где  – знак объединения.
На диаграмме Эйлера это может быть показано штриховкой (рис. 2).

Рис. 2. Объединение множеств АВ

Пересечением множеств А и В называется множество АВ, элементы которого являются элементами обоих множеств:
АВ={xA и хВ},
где  – знак пересечения.
Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис. 3.

Рис. 3. Пересечение множеств АВ

Разностью множеств А и В называется множество А\В, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В:
А\В={xA и х В},
где   – знак непринадлежности (отрицание принадлежности), \ – знак разности.
Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис. 4.

Рис. 4. Разность множеств А\В

Так, если А={1,2,3,4,5}, В={4,6}, то А\В={1,2,3,5}, В\А={6}.
Симметрической разностью множеств А и В называется множество АВ=(А\В)(В\А), изображенное на рис. 5,  – знак симметрической разности.
Так, если А={1,2,3}, В={3,4,5}, то АВ={1,2,4,5}.

Рис. 5. Симметрическая разность множеств АВ

Рассмотренные операции являются двухместными (бинарными). Име-ется одноместная (унарная) операция дополнения.
Дополнением множества А является множество  , содержащее эле-менты универсума I, не включенные во множество А:

где  – знак дополнения, «инверсия», читается «не А».
Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис. 6.

Рис. 6. Дополнение множества А до универсума I

Так, если А={3,4}, а I={1,2,3,4,5}, тоA={1,2,5}.
Используя рассмотренные операции, можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется одноместная операция дополнения, затем пересечения и только потом – операция объединения (разности). Для изменения порядка выполнения операций в выражении используют скобки.